숫자 없이 모든 문제가 풀리는 수학책

수학 공부를 시작해 보고 싶은데, 시험을 보기 위한 또는 누군가에게 공부한 내용을 증명하기 위한 공부가 아니었으면 싶었어요.

수학 공부를 제대로 해 본적이 없어서 어떠한 방식으로 접근해야 할 지 우선 수학 관련 도서를 찾아 봤습니다. 그 중 발견한 책 중 하나이고 리뷰도 좀 있고 두께도 얇아 일단 주문을 했어요.

수학적 사고가 무엇이고 왜 필요한지에 대한 작가의 생각, 철학을 일반인도 이해할 수 있도록 간결하게 작성하려 한 책이라고 생각되었습니다.

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작가가 말하는 수학이란 문제를 풀기 위한 도구라기 보다, 잘 알아차리지 못했던 문제를 빠르게 발견하여 푸는 것이라고 합니다.

이를 비즈니스와 연결해 볼 수도 있습니다. 비즈니스의 목적은 타인의 문제를 해결해 주는 것에 있습니다. 문제를 해결하려면 문제가 무엇있지 알아야 하기 때문에 문제를 파악하는 것이 중요하다고 합니다.

문제 해결은 스스로 해결하든 누군가의 도움을 받아 해결하든 하면 되고, 문제를 푸는 것보다 어떠한 것이 문제인지 알아차리는 능력이 개인적으로 더 중요하다 생각합니다.

그렇다면 수학보다 넓은 범주인 학문이란 무엇일까? 학문을 한다는 것은 아무도 가보지 않은 미지의 영역을 목표로 하는 개척자가 된다는 뜻이에요. 이전에 어떤 블로그 글에서도 봤지만 석사, 박사를 한다는 것은 자신의 전공 분야에 대한 인간의 지식 영역을 조금 더 확장하는 것이라는 문구가 떠올랐습니다.

학문을 하는 것이 위와 같다면 누구도 보지 못했던 세계, 또는 몰랐던 진실을 찾기 위한 사고를 해야하고 이러한 사고를 작가는 '수학적 사고'라고 얘기합니다.

수학적 사고란 무엇인가?

여러분은 수학 표기를 알고 싶은 가요, 아니면 내용을 알고 싶은 것인가요. 당연히 내포한 내용을 알고 싶을 거에요. 작가는 수학의 내용이란 우주에 존재하는 수학적 진리와 마주하는 것을 의미한다고 합니다.

예로, 페르마의 마지막 정리 n => 3, Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ는 'n이 3 이상일 때 Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ를 만족하는 자연수는 없다'라는 의미입니다. 단순히, 수학상의 진리 하나를 찾았다는 내용입니다. 꼭 수학뿐만 아니라, 일이나 취미, 돈 등 여러 분야에서 이러한 인지 못했던 진리를 찾는데 필요한 것이 수학이고, 수학적 사고는 이를 위해 사용하는 것이라고 합니다.

수식은 수학의 내용을 수학자끼리 알기 쉽게 하기 위한 도구입니다. 수학적 표기를 아는 것도 좋지만, 내용을 이해하는 것이 중요하다고 합니다. 이해할 수 있다면 머릿속에 정보 공간을 형성해 사용할 수 있다고 합니다.

수학은 공식을 외워 숫자를 대입하면 답이 나옵니다. 처음부터 풀이를 알고 있는 문제를 푸는 것은 뇌 트레이닝과 크게 다르지 않습니다. 아마 한국의 수학 교육도 이러한 방식이 것 같습니다. 뇌 트레이닝도 중요하지만, 수학적으로 또 중요한 부분은 사고입니다. 문제의 도형화, 그래프화 및 비판적으로 사물을 보는 법이에요. 트레이닝과 수학적 사고를 고루 발전시키는 것이 수학적 능력을 키우기에 좋다는 생각이 들었습니다.

수학공간 구축하기

물리적인 공간 외에 정보 공간을 자유롭게 구출할 수 있는 것이 수학적 사고에서 가장 중요하다고 합니다. 예를 들어, 3 - 4 = -1이라는 수식은 있지만, 주머니에 공이 3개가 있는데 4개를 꺼내는 일은 물리적으로 불가능 합니다. 단순한 뺄셈에서도 우리는 물리 공간에서 떨어진 상상의 공간을 생각하게 됩니다. 이렇게, 상상의 정보 공간 안에서 어떠한 개념, 수식을 도형화하거나 시각화하는 능력이 중요하다 합니다.

이렇게 머릿속에 구성해 보는 감각을 얻는 것은 생각보다 어렵지 않고, 이러한 사고로 복잡해 보이는 문제를 정리하고 구조화해서 해답을 찾아낼 수 있다고 합니다.

마이너스 x 마이너스 = 플러는?

간단한 수식인 마이너스 곱하기 마이너스는 왜 플러스가 될까? 분속 마이너스 3m인 차가 마이너스 4분 움직이면 차의 위치는 어디인가요?란 질문에 공식을 단순히 암기 했다면 -12m라고 답변할 수 있지만, 왜인지 설명하기는 머뭇거릴 수 있습니다. 이것을 증감의 개념보다 방향의 개념으로 정보 공간을 구축하면 좀 더 이해하기 쉽습니다.

플러스는 정방향, 마이너스는 역방향으로 이해하면 좀 쉽습니다. 분속 3m인 차가 역방향인 왼쪽을 향한 상태에서 반대 방향으로 4분간 이동하는 것이기 때문에 플러스 12m 지점으로 이동하게 됩니다.

단순 암기는 수학이 아니다.

아래의 식은 수학적 귀납법의 예시로 많이 사용됩니다.

이 식은 임의의 n으로 등식이 성립하고, n+1에서도 성립한다면 전체 역시 성립한다는 이야기 입니다. 수를 대입해보면 확인해 볼 수 있는데, 무조건 암기해서 극복하려 하는 것은 크게 의미가 없습니다.

그러면 위 식에서 어떠한 수학적 콘텐츠를 찾을 수 있을까요? 이 식은 많은 샘플 안에는 규칙이 있다는 것을 의미합니다. 아래와 같은 연속하는 자연수의 세제곱 공식이 있습니다.

1³ + 2³ = 3²

1³ + 2³ + 3³ = 6²

1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 10²

위 식에서 제곱을 제외한 자연수 만으로도 등식이 성립되는 것을 확인할 수 있습니다.

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

여기까지 확인하면, 아래의 식이 가능하다는 것을 확인할 수 있습니다.

1³ + 2³ + 3³ + ...+ n³ = (1+2+3+...n)²

이것을 다시 수학접 귀납법 예제 수식에 대입하면 아래와 같습니다.

이렇듯 규칙성 안에서 또 다른 규칙성을 찾고, 많은 샘플 안에서 어떠한 패턴을 도출할 수 있습니다.

현실 세계에 연역법은 존재하지 않는다.

순수한 연역법이란 수학에만 존재하고, 이 세상에는 존재하지 않는다고 합니다. 이유는 연역법은 최초의 절대적인 진리로 삼는 전제로부터 시작되기 때문입니다. 이 세상에는 완전하고 절대적인 것은 없기 때문에, 연역법에서 전제의 절대성을 확보할 수 없다고 합니다.

그렇다면 비즈니스 프리젠테이션, 제품 판매에 있어 연역법을 사용할 수는 없을까? 결론부터 말하면 연역법으로 이러한 논리적인 설득력을 높일 수는 없다고 합니다. 이유는 앞서 말한 바와 같이 본질적으로 절대적인 전제가 없기 때문입니다. 프리젠테이션에서 데이터 기반의 통계를 사용할 수 있다고 하지만, 이러한 통계도 귀납법으로 찾은 공통항일 것입니다. 그래서, 비즈니스적으로 연역법을 사용하는 것은 무리라고 저자는 말합니다.

연역법으로 움직이는 세계

모순적이지만, 현실 세계는 연역법에 의해 움직이고 있습니다. 연역법은 공리가 있으면 활용 가능한데, 사회에는 헌법, 형법, 민법, 세법 등 '법률'이라는 공리가 있습니다. 하지만 앞서 언급한 연역법의 성질과 같이 절대적으로 올바르다고 하는 점에 연역법의 본질적인 위험이 있습니다. 제멋대로 룰을 만들고 돌아가는 현실 사회에서 자신을 지키기 위해 우리 한 사람 한 사람은 사고를 키워야 할 거고 이 과정에서 수학적 사고가 도움이 될 것 같습니다.

인간은 논리적으로 살지 않는다.

말 그대로 인간은 논리적으로 살지 않지만, 합리적인 것을 좋아한다고 합니다. 책에서 이 이유로, 사람은 사실 합리적인 것을 좋아한다기 보다 자신의 행동이나 언동에 모순이 보이는 것을 두려워서라고 합니다.

클루지라는 책에서도 읽었지만 사람은 본래 합리적이지만은 않고 모순된 면이 많다고 합니다. 뉴스나 재판 관련 기사를 종종 보아도 이해하기 어려운 판결을 종종 접하게 됩니다. 이러한 것도 각 세계의 규칙에 따라 움직이는 것이겠지만, 사람들이 상식적으로 이해할 수 있는 수준과의 간극이 좁혀지도록 점차 나아졌으면 하고 잠시 생각했습니다.

이러한 한정된 합리성은 수학 세계에서도 볼 수 있다고 합니다. 흔히 확률을 배울 때 "베이즈 이론"을 먼저 배웁니다. 베이즈 이론이란 동전을 100만번 던져도 다음에 나올 확률은 2분의 1이라는 것입니다. 하지만 현실에서 100만 번 던지면 어느 한 쪽으로 수렴해 갑니다. 앞선 사건이 다음 사건에 영향을 주기 때문인데, 이것을 "뎀프스터 셰이퍼 이론" 이라고 합니다.

현실에서는 베이즈 이론보다 뎀프스터 셰이퍼 이론으로 움직이고 있지만, 통계학에서는 베이즈 이론을 먼저 배웁니다.

한정 합리성으로 움직이는 세계

앞서 언급했지만, 사회는 불합리함과 모순이 많이 있습니다. 한정 합리성이란, '인간은 본래 불합리하며 의사 결정을 위해 계산에 맞지 않는 행동을 하기도 한다'는 뜻입니다. 사람은 논리적이지 않고 그때그때 태도와 기분이 바뀝니다.

이것이 잘못됐다기 보다 사람은 본래 이렇다는 것을 인지하면 좋을 거 같습니다. 또한, 수학적 사고란 온전히 합리적인 사고라고 생각할 수도 있는데 실은 그렇지 않다고 책에서 말합니다. 논리적 사고만이 수학적 사고라 생각한다면, 그것은 수학적 사고를 축소시키는 것이고, 논리적 사고도 수학적 사고의 일부라고 할 수 있습니다.

논리적인 면은 인간의 사고에서도 일부라고 할 수 있습니다. 실제 최신 컴퓨터 사이언스의 근본이 되는 것은 가추법이라고 합니다. 가추법이란 쉽게 말해 근사해 입니다. 예로, 동물원에 처음 간 아이가 그림, 사진 등으로 본 사자를 알아보는 것을 들 수 있습니다. 최근에 많이 발전하고 있지만 이러한 과정은 고도의 정보 처리가 필요해 컴퓨터로 인지시키는 일은 상당히 어렵습니다.

하지만 이것은 근사해이기 때문에 틀릴 수도 있습니다. 사람은 이렇게 한정 합리적으로 살며 틀리기도 하며 자신만의 우주를 넓혀간다고 합니다.

Review

계산언어학 박사의 관점에서 수학을 어떤 관점으로 접근하고 생각하는지 알 수 있었습니다. 그리고, 수학을 이용해 개인적인 즐거움을 느끼고, 또 일의 도구로서 어떻게 관심을 가지고 향상시킬지 생각해 볼 수 있었습니다. 현실 세계의 문제점과 연결지어 생각해 볼 수 있었던 점도 재미있었네요.